Sonsuzluk kavramı en kadim dönemlerden beri filozofları düşündürmüş ve çeşitli yorumlara neden olmuştur. Sonsuzluk kavramını “sonsuz küçük” ve “sonsuz büyük” olarak iki farklı boyutta inceleyebiliriz.
Elea’lı Zeno (M.Ö. 490 – 430) “bir nesneyi sonsuz kere bölersek geriye hiçbir şey kalmamalıdır” diyerek, sonsuz küçük olanın yok olması gerektiğini savunmuştur. Sonsuz büyük konusunda da Zeno şöyle demiştir: “Eğer evrende birçok şey varsa, başlangıçta çokluğun sayılabilir ve sonlu olması gerekir. Fakat çok şeyin limiti olmadığından çokluk sayılamaz sonsuzluğa ulaşır. Şu halde var olanlar hem sonlu hem sonsuzdur.”
Alman matematikçi Georg Cantor (1845 – 1918) sonsuzluk konusuna kafayı takmış ve sayı kümelerinin sonsuzluğunu incelemiştir. Ona göre sonsuzluk sayılabilir sonsuzluk ve sayılamaz sonsuzluk şeklinde ikiye ayrılır.
Sayılabilir sonsuzluk: Doğal tam sayıların kümesi sayılabilir sonsuzluğa örnektir. Doğal sayılar 1 ile başlar ve her doğal tam sayıya 1 eklediğimizde yeni bir doğal tam sayı elde ederiz. Bu şekilde oluşan dizi bir küme oluşturur ve bu küme sonsuz sayıda tam sayı barındırır. Fakat sonsuz da olsa bu kümenin elemanları sayılabilir. Dolayısıyla doğal tam sayılar kümesi sayılabilir bir sonsuzluk içerir.
Sayılamaz sonsuzluk: Sayılamaz sonsuz sayılara “irrasyonel” sayılar denir. Sıfır ile bir arasına sonsuz sayıda gerçel sayı sığar. Fakat bu sayıları saymak mümkün değildir. Zira virgülden sonra sonsuz sayıda basamak eklenebilir. İrrasyonel sayılar herhangi iki tam sayının bölümü olarak ifade edilemezler. Bu tür sonsuzluğa örnekler, p sayısı (3.141592654….) ve e sayısıdır (2.718281828…). Pi sayısının sonu olmadığı en güçlü bilgisayarlarla kanıtlanmıştır. Üstelik Pi sayısında tekrarlanan bir sayı grubu da bulunamamıştır. Doğa ve evren ile ilgili matematik modellerde sabit olan sayılar e ve pi sayılarını içerdiklerinden, evrenin özünde sayılamaz bir sonsuzluğun bulunduğunu kabullenmek zorundayız.
Sonsuzluk hem Noktasal hem de Döngüsel olabilir. Her iki sonsuzluk türü hem geometrik hem de aritmetik olmaları bakımından doğrudan doğa ile ilgilidirler. Noktasal veya döngüsel sonsuzluk doğada nadir rastlanan bir sonsuzluk türüdür. Örneğin, sudaki anaforun uç noktası döngüsel ve aynı zamanda noktasal sonsuzluktur. Aynı şekilde Karadelik denen gökteki özel nesnelerde de döngüsel ve noktasal sonsuzluk içerdiklerini Genel Görelilik kuramı kanıtlamıştır. Fakat fizik bilimi noktasal sonsuzluktan hiç hoşlanmaz, zira sonsuzluk ile hesap yapmak mümkün değildir. İki sonsuz toplansa veya çarpılsa sonuç gene sonsuz olur. Dolayısıyla matematik sonsuzlukla somut bir sonuca ulaşılmak ve bir öngörüde bulunmak mümkün değildir. Karadeliklerin noktasal sonsuzluğundan kurtulabilmek için fizikçiler onun üç boyutlu bir nesne olsa da, iki boyutlu bir yüzey ile ifade edilebileceğini iddia etmişlerdir. Karadelikleri anlamak için yüzeydeki bilginin yeterli olduğunu savunmuşlar ve bu yoruma “Holografik Yüzey” yaklaşımı demişlerdir.
Noktasal sonsuzluğa matematikte singülarite denir. Fizik bilimi bir singülarite ile karşılaştığında ondan kurtulmanın çarelerini arar. Kuantum Elektrodinamiği kuramında bir elektronun öz enerjisi hesaplanmak istendiğinde singülarite ile karşılaşılmış ve ondan kurtulmak için renormalizasyon (yeniden normal hale çevirme) metodu geliştirilmiştir. Renormalizasyon metodu noktasal sonsuzluğu yok etmez, sadece öteler. Bu durum kirleri halının altına süpürmeye benzer. Kirler yok olmamıştır ama gözden kaybolmuştur.
Döngüsel Sonsuzluk Elektronun Öz Enerjisi hesaplanmak istendiğinde ortaya çıkmıştır. Richard Feynman (1918-1988) parçacıklar arası etkileşmeyi saçılma grafikleri ile gösterip elektronun öz enerjisini hesaplamak isteyince döngüsel sonsuzlukla karşılaşmıştır. Döngüsel sonsuzluk durumunda bir elektron önce bir foton saçıyor ve bir süre sonra geri emiyor. Yani, kendi üzerine döngüsel bir davranışta bulunuyor. Kendi üzerine dönüşümlü davranışlar farklı türden “döngüsel sonsuzluk” içerirler.
Aristo’nun (M.Ö. 384 – 322) ya-veya mantığında iki durum dışında üçüncü bir ara durum yoktur. Hem doğada hem de düşüncede (ya-veya mantığında) kendi üzerine dönüşümlü önermeler de aynı anaforlar gibi döngüsel sonsuzluk içerirler. Kendi üzerilerine dönüşümlü olduklarından ikili mantık kullanarak onların çelişkisinden kurtulmak mümkün değildir. İkili ya-veya mantığı çerçevesinde düşünen insan çelişik önermelerden, paradokslardan kaçınır. İkili mantık daima açık, seçik ve belirgin ve bağımsız tanımlar ister. Çelişki içeren kendi üzerine dönüşümlü bir önermeye örnek olarak, “Ben hep yalan söylerim” ifadesini inceleyelim.
Bu önermeye A adını verelim. A önermesi mantıksal olarak mümkün müdür? Eğer bir kişi hep yalan söylüyorsa bu söylediği A önermesi de yalandır. Demek ki hiç yalan söylemiyor. Hiç yalan söylemeyen kişinin ise “Ben hep yalan söylerim” dememesi gerekir. Şu halde, bu önerme bir çelişki içermektedir ve çelişkiyi yaratan da ben sözüdür. ‘Ben’ dendiğinde kendi üzerine dönüşümlü bir önerme kurulmuş olur. Felsefede ‘ben’ kavramı çok zor tanımlanmış ve üzerinde çeşitli yorumlar yapılmıştır. İkili ya-veya mantığında “bazen” veya “arada bir” geçerli değildir. Çünkü “bazen” sözünde belirsizlik bulunur ve ikili mantık belirsizlikten hoşlanmaz. Bu bakımdan, “hep” veya “hiç” seçenekleri dışında “bazen” seçeneği kullanılmaz. Hep veya hiç seçenekleri elektronik devrelerdeki “açık-kapalı” veya “sıfır-bir” ikiliği gibidir. Bilgisayarların makine dili de 0 ve 1 içerir. İki seçenek vardır; üçüncüsü yoktur.
Buna karşılık yeni geliştirilen Kuantum Bilgisayarlarda Qubit (Kübit) denen özel bir birim bulunur. Kübitler aynı anda hem sıfır hem bir olabilir. Kübitlerde bir tür dolanıklık veya Kuantum Girişimi (süperpozisyonu) bulunur. Kuantum mekaniği doğaya ayırımcı bakışla değil, birleştirici bakışla yaklaşmanın daha doğru olduğunu göstermiştir. Kuantum Mekaniğinin mantığı Hem-Hem mantığıdır ve sadece düşüncede değil, pratik uygulamada da Hem-Hem mantığı geçerlidir.
Kendi üzerine dönüşen çelişkili önermeler matematikte de bulunur. Matematik formel mantıkta matematiksel ifadeleri sayılarla ifade edebiliriz. Bir sayısal ifadenin doğru veya yanlış olduğunu formel mantıkla tespit edebiliriz. Kurt Gödel (1906-1978) “Bu sayısal ifade yanlıştır” önermesini sayısal olarak belirttikten sonra, formel mantık kurallarını uygulamış ve yanıtın ne doğru ne de yanlış olarak kanıtlanamayacağını göstermiştir. Demek ki, ya-veya ikili mantığı ile kendi üzerine dönüşümlü “rekürsif” önermeler sonsuz döngü içerdiklerinden çözümsüzdürler. Sonuç olarak denebilir ki, formel mantık da kısıtlıdır ve pozitif bilimlerin dili olan matematik dahi bazı durumlarda yetersiz kalmaktadır.
Doç. Dr. Haluk Berkmen
